曲面造型技術(shù)
信息來(lái)源：fromsite 發(fā)布時(shí)間：2006-11-10 9:43:12 責(zé)任編輯：gaoyuan4332068 分享到： 
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曲面造型技術(shù) 徐世新
曲面造型(Surface Modeling)是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì) (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(Computer Graphics)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，主要研究在計(jì)算機(jī)圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對(duì)曲面的表示、設(shè)計(jì)、顯示和分析。它起源于汽車、飛機(jī)、船舶、葉輪等的外形放樣工藝，由Coons、Bezier等大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。如今經(jīng)過(guò)三十多年的發(fā)展，曲面造型現(xiàn)在已形成了以有理B樣條曲面(Rational B-spline Surface)參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù)曲面(Implicit Algebraic Surface)表示這兩類方法為主體，以插值(Interpolation)、擬合(Fitting)、逼近(Approximation)這三種手段為骨架的幾何理論體系。 1.對(duì)曲面造型的簡(jiǎn)要回顧 形狀信息的核心問(wèn)題是計(jì)算機(jī)表示，即要解決既適合計(jì)算機(jī)處理，且有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。1963年美國(guó)波音飛機(jī)公司的Ferguson首先提出將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法，并引入?yún)?shù)三次曲線。從此曲線曲面的參數(shù)化形式成為形狀數(shù)學(xué)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式。1964年美國(guó)麻省理工學(xué)院的Coons發(fā)表一種具有一般性的曲面描述方法，給定圍成封閉曲線的四條邊界就可定義一塊曲面。但這種方法存在形狀控制與連接問(wèn)題。1971年法國(guó)雷諾汽車公司的Bezier提出一種由控制多邊形設(shè)計(jì)曲線的新方法。這種方法不僅簡(jiǎn)單易用，而且漂亮地解決了整體形狀控制問(wèn)題，把曲線曲面的設(shè)計(jì)向前推進(jìn)了一大步，為曲面造型的進(jìn)一步發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但Bezier方法仍存在連接問(wèn)題和局部修改問(wèn)題。到1972年，de-Boor總結(jié)、給出了關(guān)于B樣條的一套標(biāo)準(zhǔn)算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B樣條理論應(yīng)用于形狀描述，最終提出了B樣條方法。這種方法繼承了Bezier方法的一切優(yōu)點(diǎn)，克服了Bezier方法存在的缺點(diǎn)，較成功地解決了局部控制問(wèn)題，又輕而易舉地在參數(shù)連續(xù)性基礎(chǔ)上解決了連接問(wèn)題，從而使自由型曲線曲面形狀的描述問(wèn)題得到較好解決。但隨著生產(chǎn)的發(fā)展，B樣條方法顯示出明顯不足棗不能精確表示圓錐截線及初等解析曲面，這就造成了產(chǎn)品幾何定義的不唯一，使曲線曲面沒有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述形式，容易造成生產(chǎn)管理混亂。為了滿足工業(yè)界進(jìn)一步的要求，1975年美國(guó)Syracuse大學(xué)的Versprille首次提出有理B樣條方法。后來(lái)由于Piegl和Tiller等人的功績(jī)，終于使非均勻有理B樣條(NURBS)方法成為現(xiàn)代曲面造型中最為廣泛流行的技術(shù)。NURBS方法的提出和廣泛流行是生產(chǎn)發(fā)展的必然結(jié)果。 NURBS方法的突出優(yōu)點(diǎn)是：可以精確地表示二次規(guī)則曲線曲面，從而能用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式表示規(guī)則曲面與自由曲面，而其它非有理方法無(wú)法做到這一點(diǎn)；具有可影響曲線曲面形狀的權(quán)因子，使形狀更宜于控制和實(shí)現(xiàn)；NURBS方法是非有理B樣條方法在四維空間的直接推廣，多數(shù)非有理B樣條曲線曲面的性質(zhì)及其相應(yīng)算法也適用于NURBS曲線曲面，便于繼承和發(fā)展。由于NURBS方法的這些突出優(yōu)點(diǎn)，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)于1991年頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，將NURBS方法作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)描述方法，從而使NURBS方法成為曲面造型技術(shù)發(fā)展趨勢(shì)中最重要的基礎(chǔ)。
2.曲面造型的現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì) 隨著計(jì)算機(jī)圖形顯示對(duì)于真實(shí)性、實(shí)時(shí)性和交互性要求的日益增強(qiáng)，隨著幾何設(shè)計(jì)對(duì)象向著多樣性、特殊性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜性靠攏這一趨勢(shì)的日益明顯，隨著圖形工業(yè)和制造工業(yè)邁向一體化、集成化和網(wǎng)絡(luò)化步伐的日益加快，隨著激光測(cè)距掃描等三維數(shù)據(jù)采樣技術(shù)和硬件設(shè)備的日益完善，曲面造型近幾年得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，這主要表現(xiàn)在研究領(lǐng)域的急劇擴(kuò)展和表示方法的開拓創(chuàng)新。 (1) 從研究領(lǐng)域來(lái)看，曲面造型技術(shù)已從傳統(tǒng)的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接，擴(kuò)充到曲面變形、曲面重建、曲面簡(jiǎn)化、曲面轉(zhuǎn)換和曲面等距性。 曲面變形(Deformation or Shape Blending) 傳統(tǒng)的NURBS曲面模型僅允許調(diào)整控制頂點(diǎn)或權(quán)因子來(lái)局部改變曲面形狀，至多利用層次細(xì)化模型在曲面特定點(diǎn)進(jìn)行直接操作；一些簡(jiǎn)單的基于參數(shù)曲線的曲面設(shè)計(jì)方法，如掃掠法(Sweeping)、蒙皮法(Skinning)、旋轉(zhuǎn)法和拉伸法也僅允許調(diào)整生成曲線來(lái)改變曲面形狀。計(jì)算機(jī)動(dòng)畫業(yè)和實(shí)體造型業(yè)迫切需要發(fā)展與曲面表示方式無(wú)關(guān)的變形方法或形狀調(diào)配方法，于是產(chǎn)生了自由變形(FFD )法、基于彈性變形或熱彈性力學(xué)等物理模型的變形法、基于求解約束的變形法、基于幾何約束的變形法等曲面變形技術(shù)，以及基于多面體對(duì)應(yīng)關(guān)系或基于圖象形態(tài)學(xué)中Minkowski和操作的曲面形狀調(diào)配技術(shù)。 曲面重建(Reconstruction) 在精致的轎車車身設(shè)計(jì)或人臉類雕塑曲面的動(dòng)畫制作中，常先用油泥制模，再作三維型值點(diǎn)采樣。在醫(yī)學(xué)圖象可視化中，也常用CT切片來(lái)得到人體臟器表面的三維數(shù)據(jù)點(diǎn)。從曲面上的部分采樣信息來(lái)恢復(fù)原始曲面的幾何模型，稱為曲面重建。采樣工具為激光測(cè)距掃描器、醫(yī)學(xué)成像儀、接觸探測(cè)數(shù)字轉(zhuǎn)換器、雷達(dá)或地震勘探儀器等。根據(jù)重建曲面的形式，它可分為函數(shù)型曲面重建和離散型曲面重建。前者的代表工作有Eck于1996年建立的任意拓?fù)銪樣條曲面自動(dòng)重建法和Sapidis于1995年創(chuàng)造的離散點(diǎn)集擬和法。后者的常用方法是建立離散點(diǎn)集的平面片逼近模型，如Hoppe于1992年和1994年先后創(chuàng)造的分片線性或分片光滑的曲面模型。對(duì)于離散型重建，要求輸出曲面具有正確的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并且隨著采樣密度的增加而收斂到原始曲面。當(dāng)重建曲面為閉曲面時(shí)，Miller等人發(fā)展出一種基于可變形模型的曲面重建方法。1998年Amenta等人又提出了基于計(jì)算幾何中Voronoi圖和Delaunay三角化的全新的曲面重建算法，稱為外殼(Crust)算法。這種算法的優(yōu)點(diǎn)在于輸出的離散曲面在細(xì)節(jié)區(qū)域具有密集點(diǎn)，而在無(wú)特征的區(qū)域具有稀疏點(diǎn)。最近幾年，曲面重建的研究形成了熱潮，這幾年的SIGGRAPH會(huì)議上有多篇文章對(duì)此進(jìn)行了專門報(bào)告。 曲面簡(jiǎn)化(Simplification)
與曲面重建一樣，這一研究領(lǐng)域目前也是國(guó)際熱點(diǎn)之一。其基本思想在于從三維重建后的離散曲面或造型軟件的輸出結(jié)果(主要是三角網(wǎng)絡(luò))中去除冗余信息而又保證模型的準(zhǔn)確度，以利于圖形顯示的實(shí)時(shí)性、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的經(jīng)濟(jì)性和數(shù)據(jù)傳輸?shù)目焖傩�。�?duì)于多分辨率曲面模型而言，這一技術(shù)還有利于建立曲面的層次逼近模型，進(jìn)行曲面的分層顯示、傳輸和編輯。具體的曲面簡(jiǎn)化方法有網(wǎng)格頂點(diǎn)剔除法、網(wǎng)格邊界刪除法、網(wǎng)格優(yōu)化法、最大平面逼近多邊形法以及參數(shù)化重新采樣法。 曲面轉(zhuǎn)換(Conversion) 同一張曲面可以表示為不同的數(shù)學(xué)形式，這一思想不僅具有理論意義，而且具有工業(yè)應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)意義。例如，NURBS這種參數(shù)有理多項(xiàng)式曲面雖然包括了參數(shù)多項(xiàng)式曲面的一切優(yōu)點(diǎn)，但也存在著微分運(yùn)算繁瑣費(fèi)時(shí)、積分運(yùn)算無(wú)法控制誤差的局限性。而在曲面拼接及物性計(jì)算中，這兩種運(yùn)算是不可避免的。這就提出了將一張NURBS曲面轉(zhuǎn)化成近似的多項(xiàng)式曲面的問(wèn)題。同樣的要求更體現(xiàn)在NURBS曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)與多項(xiàng)式曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)傳遞和無(wú)紙化生產(chǎn)的工藝中。再如，在兩張參數(shù)曲面的求交運(yùn)算中，如果把其中一張曲面的NURBS形式轉(zhuǎn)化為隱式，就容易得到方程的數(shù)值解。近幾年來(lái)，國(guó)際圖形界對(duì)曲面轉(zhuǎn)換的研究主要集中在以下幾方面：NURBS曲面用多項(xiàng)式曲面來(lái)逼近的算法及收斂性；Bezier曲線曲面的隱式化及其反問(wèn)題；CONSURF飛機(jī)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的Ball曲線向高維推廣的各種形式比較及互化；有理Bezier曲線曲面的降階逼近算法及誤差估計(jì)；NURBS曲面在三角域上與矩形域上的互相快速轉(zhuǎn)換。 曲面等距性(Offset) 它在計(jì)算機(jī)圖形及加工中有著廣泛的應(yīng)用，因而成為這幾年的熱門課題之一。例如，數(shù)控機(jī)床的刀具路徑設(shè)計(jì)就要研究曲線的等距性。但從數(shù)學(xué)表達(dá)式中容易看出，一般而言，一條平面參數(shù)曲線的等距曲線不再是有理曲線，這就超越了通用NURBS系統(tǒng)的使用范圍，造成了軟件設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定性。為解決這一問(wèn)題，十幾年來(lái)國(guó)際圖形界提出了用簡(jiǎn)單曲線來(lái)逼近等距曲線的種種算法，這又帶來(lái)了收斂性考核、計(jì)算不穩(wěn)定、誤差難控制等問(wèn)題。那么，是否存在具有精確有理等距曲線的某種參數(shù)曲線(OR曲線)呢？1990年美國(guó)學(xué)者Farouki首次找到某一類特殊的平面參數(shù)多項(xiàng)式曲線具有這種性質(zhì)，稱之為PH曲線。而到1993年，浙江大學(xué)的呂偉利用復(fù)分析法、重新參數(shù)化和代數(shù)幾何技術(shù)，完整地給出了OR多項(xiàng)式和有理參數(shù)曲線的一般形式，徹底解決了平面曲線的等距線的有理化問(wèn)題。在曲面等距性問(wèn)題上，呂偉于1996年證明了常用二次曲面的有理等距曲面均可用有理參數(shù)樣條精確表示的結(jié)論；同年他與奧地利學(xué)者Pottmann等揭示出有理直紋面的等距面可以有理參數(shù)化，同時(shí)證明了脊線為有理樣條曲線的管道曲面可以精確表示為有理樣條曲面。曲線曲面的等距性還與機(jī)械學(xué)中的形位公差理論及幾何設(shè)計(jì)中的區(qū)間曲線曲面有著密切的關(guān)系。 (源自：) (2) 從表示方法來(lái)看，以網(wǎng)格細(xì)分(Subdivision)為特征的離散造型與傳統(tǒng)的連續(xù)造型相比，大有后來(lái)居上的創(chuàng)新之勢(shì)。
這種曲面造型方法在生動(dòng)逼真的特征動(dòng)畫和雕塑曲面的設(shè)計(jì)加工中如魚得水，得到了高度的運(yùn)用。在1998年SIGGRAPH會(huì)議的報(bào)告中，有十篇有關(guān)曲面造型的論文，除了有一篇是介紹幾何體的變形方法以外，其余九篇均是關(guān)于曲面離散造型的算法或者在離散型曲面上精確求值及進(jìn)行參數(shù)化的工作。特別是，有三篇論文都與Catmull和Clark在1978年所創(chuàng)立的用網(wǎng)格細(xì)分產(chǎn)生離散曲面的方法(以下簡(jiǎn)稱C-C法)緊密相關(guān)。從這里我們可以看出當(dāng)今國(guó)際圖形界在曲面造型理論研究和實(shí)際應(yīng)用中的熱點(diǎn)所在。 這三篇論文是J.Stam的“C-C細(xì)分曲面在任意參數(shù)上的精確求值”、T.Sederberg和浙江大學(xué)鄭建民的“對(duì)C-C細(xì)分曲面作推廣的非均勻遞歸細(xì)分曲面”及T.DeRose的“特征動(dòng)畫中的C-C細(xì)分曲面”。下面我們從介紹第三篇論文的寫作背景和主要思想入手，剖析網(wǎng)格細(xì)分的離散型曲面目前在國(guó)際上受到重視的原因。 在1998年榮獲奧斯卡大獎(jiǎng)的電影作品中，有一個(gè)短篇赫然在列，這就是美國(guó)著名的Pixar動(dòng)畫電影制片廠選送的作品“Geri’s Game”。動(dòng)畫片描述了一個(gè)名叫Geri的老頭，在公園里自己對(duì)自己下國(guó)際象棋，千方百計(jì)想取勝的詼諧故事。動(dòng)畫中人物和景色的造型細(xì)致生動(dòng)，與故事情節(jié)渾然一體，使觀眾得到真正的視覺美的享受。而這部動(dòng)畫片制作中的曲面設(shè)計(jì)者就是T.DeRose。 DeRose在SIGGRAPH’98大會(huì)上報(bào)告的論文中，講到選用C-C細(xì)分曲面作為Geri老頭特征造型模型的背景。他指出，NURBS盡管早已被國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織作為定義工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP標(biāo)準(zhǔn)，在工業(yè)造型和動(dòng)畫制作中得到了廣泛的應(yīng)用，但仍然存在著局限性。單一的NURBS曲面與其他參數(shù)曲面一樣，僅限于表示在拓?fù)渖系葍r(jià)于一張紙、一張圓柱面或一張圓環(huán)面的曲面，不能表示任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面。為了表達(dá)特征動(dòng)畫中更復(fù)雜的形狀，如人的頭、手或服飾，我們面臨著一場(chǎng)技術(shù)挑戰(zhàn)。當(dāng)然，我們可以用最普通的復(fù)雜光滑曲面的造型方法，例如對(duì)NURBS的修剪來(lái)對(duì)付。目前確實(shí)已經(jīng)存在一些商用系統(tǒng)，諸如Alias-Wavefront和SoftImage等可以作到這一點(diǎn)，但是它們至少會(huì)遇到以下困難：修剪是昂貴的，而且有數(shù)值誤差；要在曲面的接縫處保持光滑，即使是近似的光滑也是困難的，因?yàn)槟Ｐ褪腔顒?dòng)的。而細(xì)分曲面有潛力克服以上兩個(gè)困難，它們無(wú)須修剪，活動(dòng)模型的平滑度被自動(dòng)地保證。 DeRose成功地應(yīng)用了C-C細(xì)分曲面造型法，同時(shí)發(fā)明了構(gòu)造光滑的變半徑的輪廓線及合成物的實(shí)際技術(shù)，提出了在服飾模型中碰撞檢測(cè)新的有效算法，構(gòu)造了關(guān)于細(xì)分曲面的光滑因子場(chǎng)方法。憑借這些數(shù)學(xué)和軟件基礎(chǔ)，他形象逼真地表現(xiàn)了Geri老頭的頭殼、手指和衣服，包括茄克衫、褲子、領(lǐng)帶和鞋。這些都是傳統(tǒng)的NURBS連續(xù)曲面造型所不易做到的。那么，C-C細(xì)分曲面是怎樣構(gòu)造的呢？它與傳統(tǒng)的Doo-Sabin(1978年) 細(xì)分曲面異曲同工，都是從一個(gè)被稱之為控制網(wǎng)格(網(wǎng)格多半可用激光從手工模型上輸入)的多面體開始，遞歸地計(jì)算新網(wǎng)格上的每個(gè)頂點(diǎn)，這些頂點(diǎn)都是原網(wǎng)格上某幾個(gè)頂點(diǎn)的加權(quán)平均。如果多面體的一個(gè)面有n條邊，細(xì)分一次后，這個(gè)面就會(huì)變成n個(gè)四邊形。隨著細(xì)分的不斷進(jìn)行，控制網(wǎng)格就被逐漸磨光，其極限狀態(tài)就是一張自由曲面。它是無(wú)縫的，因而是平滑的，即使模型是活動(dòng)的。這種方法顯著地壓縮了設(shè)計(jì)和建立一個(gè)原始模型的時(shí)間。更重要的是允許原始模型局部地精制化。這就是它優(yōu)于連續(xù)曲面造型方法之處。 C-C細(xì)分是基于四邊形的，而Loop曲面(1987年)、蝶形曲面(1990年)都是基于三角形的。它們都受到當(dāng)今圖形工作者的重用。
3.幾種新的曲面造型方法簡(jiǎn)介 (1) 基于物理模型的曲面造型方法 現(xiàn)有的CAD/CAM系統(tǒng)中的曲面造型方法建立在傳統(tǒng)的CAGD 純數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)之上，借借助控制頂點(diǎn)和控制曲線來(lái)定義曲面，具有調(diào)整曲面局部形狀的功能。但這種靈活性也給形狀設(shè)計(jì)帶來(lái)許多不便： 典型的設(shè)計(jì)要求既是定量的又是定性的， 如“逼近一組散亂點(diǎn)且插值于一條截面線的整體光順又美光的曲面”。 這種要求對(duì)曲面的整體和局部都具有約束，現(xiàn)有曲面生成方式難以滿足這種要求。 設(shè)計(jì)者在修改曲面時(shí)，往往要求面向形狀的修改。通過(guò)間接的調(diào)整頂點(diǎn)、權(quán)因子和節(jié)點(diǎn)矢量進(jìn)行形狀修改既繁瑣、耗時(shí)又不直觀，難以既定性又定量地修改曲面的形狀。局部調(diào)整控制頂點(diǎn)難以保持曲面的整體特性，如凸性或光順性。 基于物理模型的曲面造型方法為克服這些不足提供了一種手段。用基于物理模型的方法對(duì)變形曲面進(jìn)行仿真或構(gòu)造光順曲面是CAGD和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中一個(gè)重要研究領(lǐng)域。 1987年加拿大學(xué)者 Terzoulos等率先將基于能量的彈性可變形自由曲面造型技術(shù)引用到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域，受到了國(guó)際上眾多學(xué)者的重視。Willians 以虛擬彈性薄板總能量作為能量泛函用有限插分法構(gòu)造光順曲面。Celniker 和Gossard 提出了基于有限元分析的自由曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)。Moreton 和Seqin提出了設(shè)計(jì)光順曲面的函數(shù)優(yōu)化方法。他們首先建立使用曲面插值給定點(diǎn)、法矢和曲率的幾何約束方程，然后再利用非線性優(yōu)化技術(shù)使反映曲面形狀的光順函數(shù)最小。使用這種技術(shù)，可以較好地將形狀約束和幾何約束結(jié)合在一起，克服傳統(tǒng)上的不足。該方法可以產(chǎn)生高質(zhì)量的曲面，但其計(jì)算耗費(fèi)較大。Welch 和Witkin提出了變分曲面設(shè)計(jì)方法。這種方法也是從設(shè)計(jì)的角度出發(fā)，將整張曲面看作是一張有彈性的曲面，可以用曲面上任意一些點(diǎn)或曲線控制其形狀，或者要求曲面在一些關(guān)鍵點(diǎn)插值于給定的法矢或高斯曲率。同時(shí)，要求曲面滿足設(shè)計(jì)者的定性要求，如形狀光順而美光等。根據(jù)這些要求建立優(yōu)化的約束方程，然后用數(shù)值方法求解得到所要求的曲面。所采用的能量泛函與Celniker 和Gossard 的工作類似，但在曲面表達(dá)上作了改變：采用了Forsey和Bartels的分層B樣條曲面表達(dá)形式以提高局部控制能力，但使用起來(lái)仍不方便。 1994年，Terzopoulos等在NURBS曲面的定義中增加了一個(gè)時(shí)間變量，又提出了基于能量模型的動(dòng)態(tài)NURBS（D_NURBS）曲面。Terzopoulos的基本思想是根據(jù)Lagrange 動(dòng)力方程建立一個(gè)偏微分方程，按照曲面的變形要求施加一個(gè)外力，以給定偏微分方程的邊界條件建立曲面的幾何邊界約束，通過(guò)方程中表示形狀變化的能量函數(shù)的內(nèi)部參數(shù)來(lái)反映曲面的物理屬性，最后由數(shù)值計(jì)算方法得到這張曲面離散或精確形式的解。 這些方法具有如下特點(diǎn)：
① 曲面形狀的改變服從物理準(zhǔn)則，通過(guò)計(jì)算仿真可以動(dòng)態(tài)地顯示模型在某個(gè)外力作用下的變形； ② 在給定的約束條件下，這種動(dòng)態(tài)模型的平衡狀態(tài)具有勢(shì)能最小的特點(diǎn)，可以建立滿足局部或整體設(shè)計(jì)要求的勢(shì)能函數(shù)和規(guī)定與形狀設(shè)計(jì)有關(guān)的幾何約束； ③ 能量模型建立在傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)純幾何模型的基礎(chǔ)上。這意味著盡管交互或自動(dòng)的形狀設(shè)計(jì)可以在基于能量模型的物理層進(jìn)行，但在幾何層上仍然可以調(diào)用現(xiàn)在的幾何操作庫(kù)。 基于物理模型的曲面造型方法在具體實(shí)施上有以下三種不同的方式： 力學(xué)原理的選擇：在不考慮時(shí)間因素時(shí)，可用梁或板的平衡方程或相應(yīng)能量泛函的變分原理來(lái)建立曲線、曲面的控制方程。當(dāng)考慮時(shí)間因素時(shí)，則用Langrange 方程建立運(yùn)動(dòng)方程作為曲線、曲面的控制方程。 能量泛函的選擇：i）由曲線、曲面的第一和第二基本形式構(gòu)造；ii）由曲面主曲率平方和或主曲率變化率的平方和的積分構(gòu)造；iii）由曲面的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的加權(quán)平方和構(gòu)造。前兩種方法完全從幾何概念出發(fā)，他們是曲面物理坐標(biāo)的非線性函數(shù)，計(jì)算耗費(fèi)較大。 曲線、曲面的表達(dá)方式：可采用各種不同的曲面表達(dá)形式。因NURBS曲面符合STEP標(biāo)準(zhǔn)， 是各種CAD/CAM系統(tǒng)廣泛采用的曲線、曲面的幾何表達(dá)形式，故具有重要的意義。但由于權(quán)因子的存在，其控制方程是非線性的，降低了計(jì)算效率。對(duì)權(quán)因子取值范圍的約束也存在一定的問(wèn)題。盡管Terzopoulos提出并研究了NURBS表達(dá)式的變形曲面，但在實(shí)際應(yīng)用中，一般仍取權(quán)因子為1，即從NURBS簡(jiǎn)化為非有理B樣條。 基于物理模型的變形曲線、曲面造型研究已經(jīng)取得了巨大的成就，但還有許多問(wèn)題需要解決，其中包括：計(jì)算效率問(wèn)題，采用有限元方法限制了交互速度的提高；交互控制問(wèn)題，如何交互地選擇物理參數(shù)仍有待研究；能量泛函的選擇，如何在提高計(jì)算效率和保證曲面質(zhì)量之間的平衡。 (2) 基于偏微分方程（PDE）的曲面造型方法 PDE 曲面使用一組橢圓偏微分方程產(chǎn)生曲面， 由Leeds 大學(xué)的Bloor等人于80 年代末將之引入CAGD領(lǐng)域。其思想起源于將過(guò)渡面的構(gòu)造問(wèn)題看作一偏微分方程的邊值問(wèn)題， 而后發(fā)現(xiàn)使用該方法可以方便地構(gòu)造大量實(shí)際問(wèn)題中的曲面形體。 他們探索了PDE方法在構(gòu)造過(guò)渡面、自由曲面及N邊域中的應(yīng)用。 同時(shí)也探索了這種方法在功能曲面設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。船體、飛機(jī)外形、螺旋漿葉片等外形都可由PDE方法構(gòu)造。 PDE曲面的形狀由邊界條件和所選擇的片微分方程確定。該方法具有以下特點(diǎn)： (源自：) ① 構(gòu)造過(guò)渡面簡(jiǎn)單易行， 只需給出過(guò)渡線并計(jì)算過(guò)渡線處的跨界導(dǎo)矢；
② 所得曲面自然光順。曲面由曲面參數(shù)的超越函數(shù)，而不是簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式； ③ 確定一張曲面只需少量的參數(shù)， 并且對(duì)設(shè)計(jì)者的數(shù)學(xué)背景要求較少：用戶只需給出邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即可產(chǎn)生一張光順的曲面。因此，用戶的輸入工作量較��； ④ 可通過(guò)修改邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即方程中的一個(gè)物理參數(shù)來(lái)調(diào)整曲面形狀； ⑤ 便于功能曲面的設(shè)計(jì)。 功能曲面設(shè)計(jì)最終歸結(jié)為一些泛函的極值問(wèn)題，這些泛函的自變量是形狀參數(shù)，形狀參數(shù)的多少直接關(guān)系到求泛函極值問(wèn)題時(shí)計(jì)算量的大小。PDE 曲面形狀完全由邊界條件確定，所需形狀參量較少，從而可以降低計(jì)算耗費(fèi)。 PDE方法是一種新型的曲面造型技術(shù)， 該方法僅是一種曲面設(shè)計(jì)技術(shù)，而不是一種曲面的表達(dá)方式。 (3) 流曲線曲面造型 在CAD領(lǐng)域，許多曲線曲面的設(shè)計(jì)涉及到運(yùn)動(dòng)物體的外型設(shè)計(jì)，如汽車、飛機(jī)、船舶等。這些物體在空氣、水流等流體中相對(duì)運(yùn)動(dòng)。由于流體對(duì)運(yùn)動(dòng)物體產(chǎn)生阻力，運(yùn)動(dòng)物體的外型設(shè)計(jì)將變得十分重要。運(yùn)動(dòng)物體外型的光滑與否將直接影響其運(yùn)動(dòng)性能。人們常常希望所設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)物體的外型具有“流線型”，因?yàn)榫哂小傲骶�型”外型的運(yùn)動(dòng)物體不僅外觀漂亮宜人，而且能極大地減少前進(jìn)過(guò)程中流體對(duì)物體的阻力。 針對(duì)這些運(yùn)動(dòng)物體的外型設(shè)計(jì)，一種以流體力學(xué)為背景的流曲線曲面的造型方法被提出。由流體力學(xué)理論可知，流曲線曲面上任一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的水流或氣流的流動(dòng)矢量方向吻合，因此，用流曲線曲面設(shè)計(jì)的外型具有良好的物理性能，同時(shí)外型也十分美觀。該方法的思想以流體力學(xué)中的平面定常理想不可壓縮無(wú)旋動(dòng)為力學(xué)背景，將流體力學(xué)中流函數(shù)的概念引人到CAD中，從而建立流曲線曲面的數(shù)學(xué)模型。 該方法的研究剛剛起步，造型方法的理論和流函數(shù)的建立尚不完善，故目前也處于探索階段，其基本理論、數(shù)學(xué)模型和一些相關(guān)算法還有待進(jìn)一步研。 另外，其他方法還有：散亂點(diǎn)的曲線曲面的造型方法、小波曲線曲面的造型方法等。 4.當(dāng)今幾種CAD/CAM系統(tǒng)的曲面功能評(píng)述 美、法等國(guó)的CAD技術(shù)一直走在世界的前沿，它們擁有許多世界聞名的CAD/CAM系統(tǒng)，這些系統(tǒng)具備十分強(qiáng)大的功能。 美國(guó)SDRC公司的I-DEAS Master Series軟件采用VGX(超變量化)技術(shù)，用戶可以直觀、實(shí)時(shí)地進(jìn)行三維產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和修改。VGX有如下好處：不必象參數(shù)化造型系統(tǒng)那樣要求模型“全約束”，在全約束及非全約束的情況下均可順利地完成造型；模型修改不必拘泥于造型歷史樹，修改可基于造型歷史樹，亦可超越造型歷史樹；可直接編輯任意3D實(shí)體特征，無(wú)須回到生成此特征的2D線框初始狀態(tài)；可就地以拖動(dòng)方式隨意修改3D實(shí)體模型，而無(wú)須僅以“尺寸驅(qū)動(dòng)”一種方式來(lái)修改模型；模型修改許可形狀及拓?fù)潢P(guān)系發(fā)生變化，而并非象參數(shù)技術(shù)那樣僅僅是尺寸的數(shù)據(jù)發(fā)生變化；所有操作均為“一拖一放”方式，操作簡(jiǎn)便。該軟件的Master Surface模塊是建立復(fù)雜雕塑曲面的快捷工具，它基于雙精度NURBS，與實(shí)體模型完全集成。它支持各種曲線曲面造型方法，如拉伸、旋轉(zhuǎn)、放樣、掃掠、網(wǎng)格、點(diǎn)云等，強(qiáng)大的變量掃掠支持變截面、多軌跡線以及尺寸驅(qū)動(dòng)。其結(jié)果是一個(gè)曲面集合或具有拓?fù)潢P(guān)系的曲面實(shí)體模型。該模型可參與全部幾何造型操作、干涉檢查、物性計(jì)算等。I-DEAS提供了獨(dú)特的變量成形工具，它基于最小能量法，使用先進(jìn)的高層次操作，例如對(duì)直觀的幾何形狀進(jìn)行推擠。彎扭，相斥、吸引等，使底層的曲面曲線成型。也可以對(duì)真實(shí)的幾何體直接進(jìn)行交互修改，從而得到光順的形狀，而不象傳統(tǒng)的那樣對(duì)控制點(diǎn)、權(quán)及節(jié)點(diǎn)進(jìn)行交互操作。該軟件較完整地解決了主要的曲面造型問(wèn)題。 美國(guó)Unigraphics Solutions公司的UG源于航空業(yè)、汽車業(yè)，以Parasolid幾何造型核心為基礎(chǔ)，采用基于約束的特征建模和傳統(tǒng)的幾何建模為一體的復(fù)合建模技術(shù)。其曲面功能包含于Freeform Modeling模塊之中，采用了NURBS、B樣條、Bezier數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)保留解析幾何實(shí)體造型方法，造型能力較強(qiáng)。其曲面建模完全集成在實(shí)體建模之中，并可獨(dú)立生成自由形狀形體以備實(shí)體設(shè)計(jì)時(shí)使用。而許多曲面建模操作可直接產(chǎn)生或修改實(shí)體模型，曲面殼體、實(shí)體與定義它們的幾何體完全相關(guān)。UG軟件實(shí)現(xiàn)了面與體的完美集成可將無(wú)厚度 曲面殼縫合到實(shí)體上，總體上，UG的實(shí)體化曲面處理能力是其主要特征和優(yōu)勢(shì)。
美國(guó)PTC公司的Pro/Engineer以其參數(shù)化、基于特征、全相關(guān)等新概念聞名于CAD界，其曲面造型集中在Pro/SURFACE模塊。其曲面的生成、編輯能力覆蓋了曲面造型中的主要問(wèn)題，主要用于構(gòu)造表面模型，實(shí)體模型，并且可以在實(shí)體上生成任意凹下或凸起物等。尤其是可以將特殊的曲面造型實(shí)例作為一種特征加入特征庫(kù)中。Pro/Engineer自帶的特征庫(kù)就含有如下特征：復(fù)雜拱形表面、三維掃描外形、復(fù)雜的非平行或旋轉(zhuǎn)混合、混合／掃描、管道等等。該軟件的曲面處理僅適合于通用的機(jī)械設(shè)計(jì)中較常見的曲面造型問(wèn)題。 美國(guó)IBM公司的CATIA/CADAM (Dassault Systems公司開發(fā))是一個(gè)廣泛的CAD/CAM/CAE/PDM應(yīng)用系統(tǒng)。該系統(tǒng)有關(guān)曲面的模塊包括：曲面設(shè)計(jì)(Surface design)、高級(jí)曲面設(shè)計(jì)(Advanced surface design)、自由外形設(shè)計(jì)(Free form design)、整體外形修形(Global shape deformation)、創(chuàng)成式外形修形(Generative shape modeling)、白車身設(shè)計(jì)(Body-in-white templates)等。CATIA外形設(shè)計(jì)和風(fēng)格設(shè)計(jì)解決方案對(duì)設(shè)計(jì)零件提供了廣泛的集成化工具。該系統(tǒng)具有很強(qiáng)的曲面造型功能。 法國(guó)Matra-DataVision公司的Euclid集成系統(tǒng)是一個(gè)集機(jī)械設(shè)計(jì)與工廠設(shè)計(jì)于一身的企業(yè)級(jí)并行工程解決方案，其曲面功能在“ASD高級(jí)曲面設(shè)計(jì)”之中。曲面由NURBS和Bezier數(shù)學(xué)形式表達(dá)，通過(guò)強(qiáng)大的蒙皮、扭曲、放樣、裁剪、聯(lián)合等運(yùn)算，系統(tǒng)能夠形成復(fù)雜的外形。其實(shí)體造型功能可直接用于曲面，表現(xiàn)出突出的拓?fù)溥\(yùn)算能力，例如：多曲面間的交、并、差運(yùn)算；在多曲面間的空隙處填充成保持一致切矢、曲率的新曲面；構(gòu)造相切于已知曲面的曲面等。Euclid動(dòng)態(tài)自由造型功能，實(shí)現(xiàn)了以曲面曲率進(jìn)行動(dòng)態(tài)曲面跟蹤、編輯、控制的設(shè)計(jì)修改過(guò)程，很好地體現(xiàn)了交互技術(shù)的應(yīng)用。Matra公司的另一專業(yè)應(yīng)用系統(tǒng)Strim專門針對(duì)復(fù)雜曲面CAD/CAE/CAM，其曲面設(shè)計(jì)，模具制造能力優(yōu)于Euclid系統(tǒng)。這主要表現(xiàn)在曲面模型質(zhì)量檢查器，曲面重建、逆向工程與工業(yè)造型設(shè)計(jì)等專業(yè)模塊上。尤其是其數(shù)字化點(diǎn)加工能力，即可以根據(jù)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)得的數(shù)據(jù)點(diǎn)直接進(jìn)行加工程序的編制，而不必構(gòu)造曲面模型�？傊�，這兩個(gè)軟件的曲面能力實(shí)力最強(qiáng)。Matra-DataVision公司現(xiàn)已與Dassault Systems公司開展了合作。 (源自：) 美國(guó)CV公司的CADDS5軟件的NURBS曲面設(shè)計(jì)模塊是CV公司用以完成大型復(fù)雜曲面造型的專用工具。NURBS模塊集成于清晰造型的數(shù)據(jù)庫(kù)結(jié)構(gòu)中，但其強(qiáng)大的曲面裁剪使得曲面構(gòu)成的實(shí)體可貫穿于參數(shù)設(shè)計(jì)、詳細(xì)設(shè)計(jì)、加工、分析的全過(guò)程。其特點(diǎn)主要在于：允許由較少的低階曲線和曲面構(gòu)造復(fù)雜形體，使得曲面編輯和修改操作快速而穩(wěn)定；交互地連續(xù)修改曲線曲面；局部編輯能力；多個(gè)連接曲面形成復(fù)合曲面并縫合成實(shí)體；曲線和曲面的質(zhì)量評(píng)估。CADDS5軟件全面地解決了曲面造型中的主要問(wèn)題，計(jì)算穩(wěn)定，使用靈活，對(duì)于精確復(fù)雜的曲面設(shè)計(jì)具有較強(qiáng)功能。
隨著象WINDOWS/NT這樣的32位操作系統(tǒng)的流行和微機(jī)性能的提高，使得在這些環(huán)境下實(shí)現(xiàn)高級(jí)曲面造型已經(jīng)成為可能。現(xiàn)在主要有兩種形式的軟件：一種是從UNIX平臺(tái)移植到NT平臺(tái)的，如EDS開始將UG向微機(jī)移植；另一種是從WINDOWS環(huán)境向上發(fā)展的系統(tǒng)，如MDT(Autodesk公司)、SolidWorks、Solid Edge(此為UG公司并購(gòu)Intergraph的機(jī)械軟件產(chǎn)品)。Solid Edge采用Parasolid造型內(nèi)核，零件設(shè)計(jì)應(yīng)用全參數(shù)化及基于特征造型的技術(shù)，提供了如掃描、提拉、筋板、螺旋、切割、薄壁等功能，鈑金設(shè)計(jì)可自動(dòng)折彎工藝孔、自動(dòng)展開和回折。這些高檔微機(jī)CAD/CAM系統(tǒng)以其使用靈活、性價(jià)比高而廣受注目。象MATRA的prelude系統(tǒng)包含了EUCLID和STRIM80%的命令和功能，能夠解決大部分曲面造型、分析、加工問(wèn)題。MDT以ACIS模型為核心，可以對(duì)NURBS曲面進(jìn)行多種幾何處理并且結(jié)合到統(tǒng)一的實(shí)體環(huán)境中。 中國(guó)廣州紅地公司開發(fā)的“金銀花(LONICERA)”MDA99系統(tǒng)具有強(qiáng)大的高級(jí)曲面設(shè)計(jì)模塊，提供靈活多樣的曲線、曲面構(gòu)造功能，與實(shí)體建模實(shí)現(xiàn)無(wú)縫連接。設(shè)計(jì)者利用MDA99所提供的曲面工具，可隨心所欲地構(gòu)造任意復(fù)雜的過(guò)渡曲面、自由曲面等；曲面編輯、修改、驅(qū)動(dòng)非常方便。MDA提供對(duì)實(shí)體的邊以及邊與面、面與面之間的各種變半徑高級(jí)過(guò)渡，包括固定半徑、固定寬度、參數(shù)半徑、位置半徑、周邊倒角、旋轉(zhuǎn)橢圓等。MDA的曲線構(gòu)成方式有：自由曲線、曲面交線、投影曲線、偏移曲線、交叉曲線、螺旋曲線、u-v曲線，特有的函數(shù)曲線功能使得設(shè)計(jì)人員利用函數(shù)方程、參數(shù)方程構(gòu)造各種曲線。MDA的曲面生成方法更是應(yīng)有盡有：拉伸曲面、旋轉(zhuǎn)曲面、掃描曲面、蒙皮曲面、放樣曲面、網(wǎng)格曲面、等距曲面、插值曲面、邊界曲面、函數(shù)曲面等。尤其是MDA所提供的變形(Deformation)設(shè)計(jì)功能，先進(jìn)而實(shí)用，設(shè)計(jì)人員給定不同的邊界約束以及受力情況便可得到不同曲面形狀。MDA同時(shí)還提供各種細(xì)致有效的曲面局部修改操作，包括裁剪、過(guò)渡、延伸、拼接、縫合等�？傊�，MDA高級(jí)曲面特征設(shè)計(jì)模塊提供的生成、修改、驅(qū)動(dòng)的功能可以與各種國(guó)外大型的CAD/CAM軟件相媲美。 預(yù)計(jì)在不遠(yuǎn)的將來(lái)，微機(jī)CAD/CAM系統(tǒng)將以其良好的2D設(shè)計(jì)/繪圖、3D實(shí)體/曲面造型、數(shù)控加工、工程數(shù)據(jù)管理，物性分析的集成化優(yōu)勢(shì)而得到廣泛應(yīng)用和發(fā)展。
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